問題３

問題3   図のように、両端が大気圧に開放となっているU字管を 角速度 $\omega$ で回転させた。U字管の横に延びた部分の長さを $\ell$、 液体の密度を $\rho$ とする時、両側の水位差はどのように表されるか。

-- 解答例 --

下図のように、回転軸に沿って上向きに z軸、U字管の底部外向きにx 軸を取り、 U字管とともに回転する座標系で力の釣合を考える。 x, z 方向それぞれの力の釣合は、重力加速度を $g$、圧力を $p$ として

$$\left\{ \begin{array}{@{\,}ccc@{\,}} 0 = -\frac{1}{\rho}\fr... ...\rho}\frac{\partial p}{\partial z} - g\\ \end{array} \right.$$

となる。上式は簡単に積分できて

$$p = \rho \frac{\omega^2 x^2}{2} - \rho g z + \mbox{constant}$$

となる。 中心側の液面を $z = z_1$ とすると、そこでは $p=0$、$x=0$ であるから、 $\mbox{constant} = \rho g z_1$ となる。 外側の液面の高さを $z = z_1 + \Delta$ と置くと、 そこで $p=0$、$x=\ell$ より、

$$0 = \rho \frac{\omega^2 \ell^2}{2} - \rho g (z_1 + \Delta) + \mbox{constant}$$

であるので、

$$\Delta = \frac{\omega^2 \ell^2}{2 g}$$

となり、内外の水位差は、外側の方が $\frac{\omega^2 \ell^2}{2 g}$ 高いことが分かる。