問題４

問題4   図のように、直方体が液体に浮いている。この直方体を 図の左右方向に微小に傾けた時、安定して浮いているためには、 直方体の密度にはどういう条件が必要か。液体の密度を $\rho$ とし 直方体の左右方向の長さを a、上下方向の長さを 2a、 奥行き方向の長さは必要なら０でない適当な値に仮定して計算せよ。 (横幅 b で、縦 h の長方形の縦方向 h/2 回りの 断面２次モーメントは $\int^{h/2}_{-h/2} b x^2 dx = bh^3/12$ である。)

-- 解答例 --

まず水没部分の高さを求める。直方体の密度を $r\rho$、 奥行き方向の長さを $b$ と置き、 水没部分の高さを $h$ と置くと、直方体にかかる重力と浮力の釣合より

$$r \rho g (2a a b) = \rho g (h a b )$$

であるので、

$$h = 2a r$$

となる。水没部は直方体なのでその浮力の中心は、直方体の底から $h/2 = ar$ の 深さで、もちろん鉛直方向に引いた直方体の中心線上にある。 また、重心位置は同様に中心線上で底から $a$ の所にある。 左右対象な物体が安定して浮いている為の条件は、 浮いている状態で水面が物体を切る断面での断面２次モーメントを $I_G$、 水没部の体積を $V$ 、重心と浮力中心との距離を GC として、

$$\frac{I_G}{V} - \mbox{GC} > 0$$

であるので、

$$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{b a^3}{12}}{ a b h } - ( a - \frac{h}{2} ) & = &... ...r ) \\ & = & a \left( \frac{ 1 } { 24 r } - 1 + r \right) > 0 \end{eqnarray*}$$

$a$、$r$ は正の数なので、

$$\begin{eqnarray*} \frac{1}{24r} - 1 + r & > & 0 \\ 24 r^2 - 24r +1 & > & 0\\ r... ...{1}{2} ( 1 + ( 1 - 0.083.. ) )\\ & & \sim 1 - 0.042 \sim 0.96 \end{eqnarray*}$$

直方体の密度は、$\rho$ の 96 % 以上 100% 未満である必要がある。

あるいは、小数で直さずに $\left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{\frac{5}{6}} \right) \rho$ から $\rho$ まで、と答えても良いと思う。