1-(2)

$$y \frac{dy}{dx} = x e^{y^2}$$ を満たし、 ($x$,$y$) = (1,0) を通る曲線の方程式を求めよ。

$$y \frac{dy}{dx} = x e^{y^2}$$ (20)

を整理して

$$y e^{ - y^2} dy = x dx$$ (21)

両辺を積分して

$$\int y e^{ - y^2} dy = \int x dx$$ (22)

$$-\frac{ e^{-y^2}}{2} = \frac{x^2}{2} + c$$ (23)

$$e^{-y^2} = - x^2 + 2c$$ (24)

となるので( $c$ は積分定数)、($x$,$y$) = (1,0) を通ることから、 $c = 0$ となり 解の曲線は

$$e^{-y^2} = - x^2 + 2$$ (25)

と書ける。

更に整理して両辺の自然対数を取り

$$y^2 = - \log( 2 - x^2)$$ (26)

とか、

$$y = \pm \sqrt{ \log\left( \frac{1}{2-x^2}\right) }$$ (27)

としても良い。