問題2

ベクトル $\mathbf{u}$ に関して以下の事を示せ

$$\mathbf{u}(t) = \mathbf{b} e^{\lambda t} + \mathbf{c} e^{-\lambda t}$$ で ある時、 $$\frac{d^2\mathbf{u}}{dt^2} - \lambda^2 \mathbf{u} = \mathbf{0}$$ を満たす。 ここで、$\mathbf{b}$, $\mathbf{c}$ は定ベクトルである。

$$\mathbf{u}(t) = \mathbf{b} e^{\lambda t} + \mathbf{c} e^{-\lambda t}$$ (28)

を使って、問題の式の左辺を計算すると

$$\frac{d^2\mathbf{u}}{dt^2} - \lambda^2 \mathbf{u} = \frac{d \left( \lambda \mathbf{b} e^{\lambda t} -\lambda \mathbf{c} e^{-\lambda t} \right)}{dt} - \lambda^2 \mathbf{u}$$ (29)

$$= \lambda^2 \mathbf{b} e^{\lambda t} + \lambda^2 \mathbf{c} e^{-\lambda t} - \lambda^2 \mathbf{u}$$ (30)

$$= \lambda^2 \mathbf{u} - \lambda^2 \mathbf{u}$$ (31)

$$= 0$$ (32)

となるので、与えられた式を満たす。