1-(1)

$$(x-1) dx + (y-2) dy = 0$$ を満たし、 ($x$,$y$) = (3,4) を通る曲線の方程式を求めよ。

$$(x-1) dx + (y-2) dy = 0$$ (1)

より

$$(x-1) dx = - (y-2) dy$$ (2)

であるので、両辺を積分して

$$\int (x-1) dx = - \int (y-2) dy$$ (3)

$$(x-1)^2 = - (y-2)^2 + c$$ (4)

となる、ここで $c$ は積分定数。 この式が、($x$,$y$) = (3,4) を満たす為には、

$$c = (x-1)^2 + (y-2)^2$$ (5)

$$= 4 + 4$$ (6)

$$= 8$$ (7)

故に、求める曲線は

$$(x-1)^2 + (y-2)^2 = 8$$ (8)

である。

別解

あるいは式(1) が、ある関数 $f(x,y)$ を用いて

$$\frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy =0$$ (9)

と書けないか検討する。

このためには、 $\frac{\partial^2 f} {\partial x \partial y}$ が 矛盾無く求められる必要がある。第１項より、

$$\frac{\partial^2 f} {\partial x \partial y} = \frac{\partial (x-1)}{\partial y} = 0$$ (10)

第２項より

$$\frac{\partial^2 f} {\partial x \partial y} = \frac{\partial (y-2) }{\partial x } = 0$$ (11)

であるので、問題は式(9) の形で表現でき、

$$\frac{\partial f}{\partial x} = (x-1)$$ (12)

かつ

$$\frac{\partial f}{\partial y} = (y-2)$$ (13)

である $f$ を求めその全微分を使って $\delta f = 0$ という問であると言える。

式(12) より

$$f = \int \frac{\partial f}{\partial x} dx = \int (x-1) dx = (x-1)^2 + c$$ (14)

ここで、$c$ は、積分定数であるが、y の関数であり得る。

式(13) の条件より

$$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial \left\{ (x-1)^2 + c \right\}}{\partial y}$$ (15)

$$= \frac{\partial c}{\partial y}$$ (16)

$$= y-2$$ (17)

であるので、 $c = (y-2)^2 + c_1$ (ここで、$c_1$ は積分定数) となる。 従って

$$f(x,y) = (x-1)^2 + (y-2)^2 + c_1$$ (18)

となり、解は $\delta f = 0$ より $f(x,y) = 一定値$ となる。 ($x$,$y$) = (3,4) を満たすには、$c_1$ と一定値をまとめて

$$(x-1)^2 + (y-2)^2 = 8$$ (19)

となれば良い。