問題１

問題1   図のように $\theta$の角度を持つ面がある。この面の 奥行きは $b$ である時、面にかかる水圧の合計はいくらか、また、その作用点は どの高さにあるか、水の密度を $\rho$ 、重力加速度を $g$ として 答えよ。

-- 解答例 --

下図のように、底から鉛直上向きに $z$ をとる。 その深さでの水圧 $p$ は、静水圧から $p = (h-z) \rho g$ である。 その深さで $dz$ の深さ方向には、問題の面が、奥行き $b$ × 幅 $dz/\sin\theta$ あるので、水圧の合計 $P$ は以下の積分で表される。

$$\begin{eqnarray*} P & = & \int_0^h p \frac{dz}{\sin\theta} \\ & = & \int_0^h ... ...ac{dz}{\sin\theta} \\ & = & \frac{\rho g b h^2}{2 \sin\theta} \end{eqnarray*}$$

また、作用点の高さを $z = z_p$ とすると、面下端でのモーメントの釣合より (圧力は面に垂直な方向なので)

$$\begin{eqnarray*} P \frac{z_p}{\sin \theta} & = &\int_0^h \frac{z}{\sin\theta}... ...rho g \frac{dz}{\sin\theta} \\ & = & \frac{h}{3 \sin\theta} P \end{eqnarray*}$$

であるので、$z_p = h/3$ となる。 従って、作用点は、底から $h/3$ 上方の高さにある。

注釈: 典型的な水面から続く長方形断面の問題なので、答えを丸暗記している ことも多いと思う。この場合、どういう条件下でどうなると言うことを知っていて その答えが出たかを採点者に示す必要がある。また、作用点はどの高さにあるかを 示す際には、当然のことながら、問題に書かれていない基準点を自分で設定して 解答を示すのだから、``どこから'' 計ってどこにあるかを明示する必要がある。