% ô��������
%  2009.4.1 ����äȲ��� (by tama)

\ehchapter{��ή������ή�ο��̷�}

\ehsection{�¸��γ���}
����ϩ�����ή($=$����Ū���Ѳ����ʤ�ή��)�κǤ��ñ�ʾ��Ǥ�����ή��
�Ĥޤ�ɤ��Ǥ�忼��������($=$ή®��Ʊ��)�Ǥ���ή��ϡ�
���Ư�����Ϥ�ή��������ʬ�Ƚ��դ�Ư���໤���Ϥ����äƤ����롥

�ޤ��������Ǥʤ����ή�ξ��ˤϡ�ή�������˿忼���Ѳ���������ή�ˤʤ롥
(��������ή�̤����Ǥ���Фɤ��Ǥ�Ʊ���Ǥ���.)
���ξ�硤�����������ή�ο��̷��μ��פ��ʤ�����忼��������ʬ����
���໤�ˤ��»�����θ�����٥�̡�����ˡ§�פǿ忼���Ѳ������ҤǤ��롥
�����ơ����ξ�硤�໤�Ϥ���ꤹ�����ٷ�����Ϳ����ɬ�פ����롥

�ܼ¸��Ǥϡ�
\begin{itemize}
\item ��ϩ���θ��ۤ�¬�ꤷ,

\item ή�̤䲼ήü�α�ι⤵��Ĵ�ᤷ�ơ���ϩ���濴��ʬ����ή���֤�Ĥ���Ф���
	���κݤ�ή�̡�ή®������Ĺ����ϩ���θ��ۡ�
	�ʤɤ���Manning�����ٷ������ᡤ

\item ���ˡ���ήü�Ǳ�ι⤵��夲��(�פ����Ŭ��������ή���֤��ä�)��
	����ή���֤�Ĥ���Ф��ơ�
	���ο��̷��򡤾�ǵ�᤿���ٷ�����ȤäƷ׻�����������̷�����Ӥ��롥

\end{itemize}
���Ȥ�Ԥ�������ϩ��ή����Ф�������򿼤�뤳�Ȥ���Ū�Ȥ��롥

\ehsection{�¸����}
�ݥ���ȥ��������구���ᡤ�ѥ�, ��ϩ (�����������ϩ)

\ehsection{�¸�����}
\begin{enumerate}
\item ��ϩ�����ۤȿ�ϩ����¬��
\begin{enumerate}
	\item ��ϩ���ߤ���ſ��ĥ�ꡤ
	��ϩ�˲�ήü�����Ȥ��ƾ�ή�˸����ƺ�ɸ�Ϥ����ꤷ����ϩ������
	�忼����롥(���̤���ʿ�����顤�忼�Ͽ�ϩ���򼨤����Ȥˤʤ롥)
	�ݥ���ȥ��������������ʤ��Ѥ����ա�(�忼�Ͽ�ϩ���ȿ��̤κ��Ǥ���)
\end{enumerate}
\item ���ٷ��������٤���ή���֤Ǥ�¬��
\begin{enumerate}
\item �̿夷����ι⤵��Ĵ�ᤷ�ơ���ή���֤ˤ��롥
	%�̿���Υݥ�פε�ư�����ή�̤����äϤ�ä��ꤪ���ʤ�ʤ���
	%��ϩ���Τ��ϤäƤο�̤ο�ư���ݤ������뤳�Ȥ�����Τ����ա�
	��ϩ�������ʬ��Ȥ�������ξü�ǿ忼�κ����ʤ� (��������) �褦�ˤ��롥
	��ʬã�ε��Ѥ�Ǧ��, ������ɬ�פ����٤��θ����, �ɤ����٤�
	������Ƥ��뤫��ͤ���Τ����ĤΥݥ����. (�ͻ��Υݥ���ȤǤ⤢��)
\item ���λ�($=$��ή����)��ή�̤ȿ忼���¬���롥
\item ������ʬ�Ǥ�ʿ�Ѹ��ۤ��顤Manning �μ�(`���ޤ�'���뤤�϶��ʽ�򻲾�)��
�Ѥ��ơ����ٷ�������ꤹ�롥(ͭ�����Ǥ���Τǡ�SIñ�̷Ϥǽ������뤳��)
\end{enumerate}
\item ����ή�ο��̷���¬��
\begin{enumerate}
\item ��ήü���夲���ơ�����ή���֤��롥
\item ���̤η�����ή�̤�¬�ꤹ�롥������¬��ݥ���ȿ���,��� `Manning �����ٷ���' ��Ȥä�����ή�ο��̷��η׻���̤���Ӥ��뤳�Ȥ��Ǥ������٤˹Ԥ�.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\ehsection{���ɥХ���}
�����Τϡ�Manning �����ٷ����ȡ�����ή�ο��̷��Ǥ���Τǡ�
�����ɬ�פʤ�Τ�����¬�ꤹ��褦�˽�ʬ���դ��롥

\ehsection{��ݡ���}

�¸���̤ȡ������֤��ޤ��פ򻲹ͤˤ��ưʲ��κ�Ȥ򤷤ƥ�ݡ��Ȥ���Ф��衣
\begin{itemize}
\item �¸���̤���������ɽ�ȿޤˤޤȤ�롥
\item ���ٷ����ε�����ȷ�̤�Ҥ٤롥
\item �ե롼�ɿ����ᡤή�줬��ή�Ǥ��뤫��ή�Ǥ��뤫��ͤ���
¬����ʬ�β�ήü(��ή) ���뤤�Ͼ�ήü(��ή)������̷��η׻���Ԥ���
\item ���η׻���̤ȼ¸���̤Ȥ���Ӥ����ͻ�����.
\end{itemize}

���̷��η׻��ϡ���ʬ�������򡤾����ʶ�֤�ʬ���ơ����Ū�˲򤱤��ɤ���
���ͷ׻������դʿͤϥ���ԥ塼���Ǻ�ʬ�׻����Ƥ��ɤ���

\ehsection{���ޤ�}
\subsubsection*{Manning��}
��ή���֤δ������̤ξ�硤ʿ��ή® $v$ �ϡ��ʲ��μ���ɽ�����
\[ v =  \frac{1}{n} R^{2/3} I ^{1/2} \]
�����ǡ�$n$: Manning �����ٷ�����$R$: �¿�
(Ĺ�������̤ξ�� $R = \frac{Bh}{B+2h}$, $B$:��ϩ��, $h$ �忼)��
$I$: ���ͥ륮������$ = i_0 - \frac{d}{dx}\left( h + \frac{v^2}{2g} \right) $��$i_0$: ��ϩ���ۡ�

��ή���֤�ή��ξ�硤ή�̤���������ʿ��ή®�� $v$ �Ȥ����Ѥ��Ƥ�
�礭�ʸ����ˤϤʤ�ʤ���

\subsubsection*{����ή�ο��̷��η׻�ˡ}

Ĺ�������̤γ���ϩ�����ή�ο��̷��η׻��ϰʲ��Τ褦�ˤ��ƹԤ����Ȥ��Ǥ��롣
�����ǡ�$x$ �Ͽ�ϩ��ή�������˼�ä���ɸ�Ǥ��롣

ή® $v$���¿� $R = A/S$ (������/����Ĺ)���ޥ˥󥰤����ٷ��� $n$��
�໤»���θ��� (ñ��Ĺ��������໤»�� $ d h_f/dx = i_f$ ��
����ȥޥ˥󥰼��ϼ�(\ref{Manning})�Τ褦�˽񤱤롣
\begin{equation}
v = \frac{R^{2/3}}{n} i_f^{1/2} \label{Manning}
\end{equation}
�ѷ�����
\begin{equation}
i_f = \frac{n^2 v^2}{ R^{4/3}} \label{Manning2}
\end{equation}

\medskip

��ϩ��ο���Ф��ơ��໤»�����θ��������Ƭ�μ�
(�٥�̡���§���ſ尵���໤»��)�ϡ�
\begin{equation}
\frac{d}{dx}\left( \alpha \frac{v^2}{2g} + h + s + h_f \right) = 0 \label{dhdx}
\end{equation}
�����ǡ�$h$�� �忼��$s$�Ͽ�ϩ���ι⤵��$h_f$ ���໤»����Ƭ��
$\alpha $ �ϡ��٥�̡���§�ǽФ����ή®��ή�̤���������ʿ��ή®��
�֤���������θ����η��������������Ǥϴ�ñ�� $\alpha = 1$ �Ȥ��Ʒ׻����롣
Ʊ�ͤˡ��ޥ˥󥰼���ή®������ʿ��ή®���֤���������ϩ���� $B$ �Ȥ���ȡ�
$ Q = Bhv $ �ȼ� (\ref{Manning2}) ����ӡ�$R = Bh/(B+2h)$���
\begin{eqnarray}
\frac{d}{dx}\left( \frac{Q^2}{2g B^2 h^2} + h \right)
	+\frac{d s}{dx} + i_f  & = & 0 \\
\frac{d}{dx}\left( \frac{Q^2}{2g B^2 h^2} + h \right)
	+\frac{d s}{dx} + \frac{n^2 \left( \frac{Q}{Bh}\right)^2}{ \left(\frac{Bh}{B+2h}\right)^{4/3}} & = & 0
\end{eqnarray}
�����ǡ�$\frac{d s}{dx}$ �ϡ���ϩ�����٤θ��ۤǤ��롣�㤤���ظ����äƿ夬
ή��뤳�Ȥ�¿�������ͤˤʤ뤳�Ȥ����̤ʤΤǡ�$ i = - ds/dx $ ���������
��ϩ���ۤ���Ѥ��뤳�Ȥ�¿����(\textbf{��}: ������ $x$ �ˤ�ä��Ѳ������̤� $v$, $h$ ��
���Ĥ��ä���\ref{dhdx}��, ή��˱�äư����ͤǤ��� $Q$ ��Ȥä� $v$ ��õ��
$h$ �����������äƤ��뤳�Ȥ˵��Ť��٤�)



\medskip

$B$ ������ʤ�С�
\begin{equation}
\left( 1 - \frac{Q^2}{g B^2 h^3} \right) \frac{dh}{dx} + \frac{d s}{dx} +
	\frac{n^2 \left( \frac{Q}{Bh}\right)^2}{ (\frac{Bh}{B + 2h})^{4/3}} = 0
\end{equation}

�����顢�忼�ε�Υ�������Ѳ� $dh/dx$ ��
\begin{equation}
\frac{dh}{dx} =  \frac{-\frac{d s}{dx} - \frac{n^2 Q^2 (B+2h)^{4/3}}{B^{10/3} h^{10/3}} }{1 - \frac{Q^2}{g B^2 h^3}} \label{hutoryu}
\end{equation}

����򤳤Τޤ޿��ͷ׻�������ɤ���

\bigskip

�ɤ�����񤭴����Ȥ��Ƥϡ�\textbf{����}�ο�ϩ�ξ�硢�������ˤʤ�Τǡ�
���μ¸��Ǥ�ή�������б�����
��ή�忼 $h_0$ �ȸ³��忼 $h_c$ ��Ȥä�ɽ�����Ȥ�¿����

�ޤ� $h_0$ �ϡ��忼������ˤʤ���֤����顢��(\ref{dhdx})��
$h$ �� $h_0$ �ǰ���Ǥ��뤳�ȡ��ڤӷ�̤Ȥ��� $v$ �� $v_0$ ��
����ˤʤ뤳�Ȥ���������� ($d h_f/dx = i_f$)
\begin{eqnarray}
\frac{ds}{dx} + i_f &  = & 0 \\
\frac{ds}{dx} + \frac{n^2 v_0^2}{R^{4/3}} & = & 0\\
\frac{ds}{dx} + \frac{n^2 Q^2 (B+2h_0)^{4/3}}{B^{10/3} h_0^{10/3}} & = & 0 \label{h0}
\end{eqnarray}

�ޤ�������ή��$Q$�λ��θ³��忼 $h_c$ �ϡ��楨�ͥ륮�� $ v^2 / 2g + h $ ��
�Ǿ��ˤʤ���� $h$ ����������Τ�
\begin{equation}
\frac{d}{dh}\{ \frac{(\frac{Q}{Bh})^2}{2g} + h \} = 0
\end{equation}
��ꡢ
\begin{equation}
h_c = \left( \frac{Q^2}{g B^2} \right)^{1/3}
\end{equation}

�����ǡ���ϩ��������ʬ�˹����Ȥ���� $B \gg h $ �ʤΤǡ�
\begin{equation}
R = \frac{Bh}{B+2h} \sim \frac{Bh}{B} = h 
\end{equation}
(�¿��Ͽ忼)�����뤤�ϡ�$ B+2h \sim B $(���դϿ�ϩ��)
���֤���Τǡ���(\ref{hutoryu})��
\begin{equation}
\frac{dh}{dx} =  \frac{-\frac{d s}{dx} - \frac{n^2 Q^2 B^{4/3}}{B^{10/3} h^{10/3}} }{1 - \frac{Q^2}{g B^2 h^3}} \label{hutoryu2}
\end{equation}
��(\ref{h0})�ϡ�
\begin{equation}
\frac{ds}{dx} + \frac{n^2 Q^2 B^{4/3}}{B^{10/3} h_0^{10/3}}  =  0 \label{h0_2}
\end{equation}
�Ȥʤꡢ��(\ref{h0})�������Ǥ���$B$ �� $Q$ �� $n$ ��õ�Ǥ��ơ�
\begin{equation}
\frac{dh}{dx} =  \left(-\frac{ds}{dx}\right) \left(\frac{1 - \frac{h_0^{10/3}}{h^{10/3}}}{1-\frac{h_c^3}{h^3}}\right) \label{hutoryu3}
\end{equation}
�Ȥʤ롣������ϩ�ʤ顢���������ʬ���Ƥ��ɤ���������������Ǥ���ˤϳڤǤ�������
( $h_0$ �� $h_c$ �Ϥ����������ή���� $Q$ �ʤɤ���׻����줿��ΤǤ���٤�)

\bigskip

���ͷ׻��ˤ����ʬ���㤨�аʲ��Τ褦�˹Ԥ���
��(\ref{hutoryu}) ���뤤�ϡ���(\ref{hutoryu2}) �κ��դ� $f(h)$ ���֤��ȡ�
�򤯤٤�����
\begin{equation}
\frac{dh}{dx} = f(h)
\end{equation}
�Ǥ���Τǡ������ $ \delta_x$ ��Ŭ���˷���� (��ή�ξ�� $ \delta_x < 0$ 
�Ȥ��Ʋ�ή¦������ʬ���٤� )��$x = i\delta_x$ �Ǥο忼 $h_i$ ��
$x = (i-1)\delta_x$ �Ǥο忼 $h_{i-1}$ �Ȱʲ��Τ褦�ʴط��ˤʤ롣
\begin{equation}
h_i = h_{i-1} + \delta_x f(h_{i-1})
\end{equation}
�Ĥޤꡢ�����������ʬ��Ȥä��������ǵ��뤳�Ȥ��Ǥ��롣

��ʬ�����٤�夲�褦�Ȼפ��С������������������������Ȥ�
\begin{eqnarray}
h_{tmp} & = & h_{i-1} + \delta_x f(h_{i-1})\\
h_i     & = & h_{i-1} + \delta_x \frac{ f(h_{i-1}) + f(h_{tmp}) }{2}
\end{eqnarray}
�Ȥ��롢���뤤�Ϥ�ä��ܳ�Ū�ˣ����Υ�󥲡����å����ʤɤ���Ѥ��롣
�ޤ����������ͷ׻����ˤϡ�$\delta_x$ ���礭���˲� (ͭ��������
�ϰ���Ǥ�) ��¸���ʤ����Ȥ�Τ���뤿��ˡ�
���̤꤫����Ȥ�\textbf{������}ɬ�פǤ��뤬��
�ǽ餫�齽ʬ���������ʤɤǴʰ�Ū�ˤ��ޤ��뤳�Ȥ�¿����

�ܤ����ϡ����ͷ׻��ζ��ʽ�򻲾ȤΤ��ȡ�








\newpage
