問題5

$z = \sin(2x+3y)$ であらわされる曲面がある、 ($x$, $y$) = (0,0) でそれに接する平面の式を求めよ。(註: (0,0) 近傍で一次の Taylor 展開をせよと言うのと同じ問題である )

$$\frac{\partial z}{\partial x} = 2 \cos(2x+3y)$$ (43)

$$\frac{\partial z}{\partial y} = 3 \cos(2x+3y)$$ (44)

($x$, $y$) = (0,0) の時に、$z = 0$、 $\frac{\partial z}{\partial x} = 2$、 $\frac{\partial z}{\partial y} = 3$ なので、

$$z = 2x + 3y$$ (45)

である。 ( ($x$, $y$) = (0,0) で、値、勾配ともに一致するから)