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水理学 I 小テスト (2002.12.17)

問題1 以下の $\fbox{A}$ $\sim$ $\fbox{D}$ にもっともよく当てはまる文の番号を $\fbox{1}$ $\sim$ $\fbox{6}$ からそれぞれ選んで答えよ。

ニュートン力学において質点の運動方程式 $\displaystyle \mathbf{F}=m \frac{\partial^2 \mathbf{x}}{dt^2}$ ( $\mathbf{F}$ :質点に働く力、 $\mathbf{x}$ : 質点の位置) を、 $\displaystyle \mathbf{F}= \frac{d \mathbf{p} }{dt}$ ( $\mathbf{p}$ : 質点の運動量) と考えるのとまったく同様の法則である水理学における運動量の法則は、単位質量あたりで記述されている流体の運動方程式に密度を乗じて空間に固定された検査領域で積分することによって得られる。

$\begin{displaymath}\frac{\partial}{\partial t}\int_{V} \rho\mathbf{u} dV + \int... ...}\cdot\mathbf{n})dS = - \int_{S} p \mathbf{n} dS + \mathbf{F} \end{displaymath}$

である。ここで、

は検査領域の体積、

は検査領域の表面、 $\mathbf{n}$ は微小面

の法線ベクトルを表す。この式の各項の表す意味は以下のようになる。

$\displaystyle \frac{\partial}{\partial t}\int_{V} \rho\mathbf{u} dV$	--	$\fbox{A}$
$\displaystyle \int_{S} \rho \mathbf{u} (\mathbf{u}\cdot\mathbf{n})dS$	--	$\fbox{B}$
$\displaystyle -\int_{S} p \mathbf{n} dS$	--	$\fbox{C}$
$\displaystyle \mathbf{F}$	--	$\fbox{D}$

$\fbox{1}$: 検査領域の表面から単位時間に出て行く運動量
$\fbox{2}$: 検査領域内の流体が受ける力で圧力以外のもの
$\fbox{3}$: 検査領域内の流体の持つ運動エネルギー
$\fbox{4}$: 検査領域内の流体の運動量の単位時間あたりの増加量
$\fbox{5}$: 検査領域内に流れ込む流体の質量
$\fbox{6}$: 検査領域の表面で圧力が流体に対して及ぼす力

問題2 図のように断面が円形で直径

のパイプが 90度に曲がっている (図のように x 軸 y 軸を取ることにする)。その中を圧力

流速

で、密度 $\rho$ の水が定常に流れている時、パイプにかかる力はいくらか。x 成分、y成分ともに答えよ。ただしパイプ内での摩擦や重力、渦、地球回転などは無視することとする。

$\resizebox{0.8\textwidth}{!}{\includegraphics{fig1.eps}}$

問題3 図のように大気中へ吹き出した２次元的な噴流が、板に対して $\theta$ の角度で定常的に衝突している。衝突前の噴流の厚みは

で流速は

であり、衝突後、板に平行に

および

の流速でそれぞれ厚み

および

で両側へ流れて行ったとする。この問題に対して、以下の設問に答えよ。ただし、重力や摩擦あるいは渦の影響などは考えないで良いとし、流体の密度を $\rho$ とせよ。

$\resizebox{0.8\textwidth}{!}{\includegraphics{fig2.eps}}$

３-１: この噴流は大気中に吹き出していること、また渦や摩擦の影響を考えなくてよいことから、図の左から入って上下へ抜けていくそれぞれの流線上で、ベルヌーイ定理の適用が可能であると考えられる。 , , それぞれの関係を求めよ。
３-２: 流量は保存することから、, , , , , には関係式が成り立つ。関係式を示せ、また上問の結果を利用して整理せよ。
３-３: 図のように板面に平行に y軸、垂直に x軸を設定した場合、板面で摩擦がないことを考慮して、 y 方向の運動量の保存を点線で示したような検査面で考えて、その結果からおよびとの関係を求めよ。
３-４: x 方向の運動量の収支から板面にかかる力の大きさ(２次元問題なのでもちろん単位奥行方向長さあたりの力である)を求めよ。