水理学I 小テスト (2002.11.12)

問題１   以下の $\sim$ を適切に埋める言葉あるいは式を答えよ。

空間座標を、($x$,$y$,$z$) の直交座標で取り、それぞれの方向の速度を ($u$, $v$, $w$) とした場合に、 非圧縮性流体の連続式は

$$\frac{\partial u}{\partial x} + \mbox{ \fbox{A}}+ \frac{\partial w}{\partial z} = 0$$

と表される。また、$z$ 座標を鉛直方向とした時に、一定の重力加速度 $g$ の もとでの運動方程式は、粘性を無視すると

$$\frac{\partial u}{\partial t} + \mbox{ \fbox{B}} + v \frac{... ...{\partial z} = - \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x}$$

$$\frac{\partial v}{\partial t} + u \frac{\partial v}{\partia... ...rtial y} + w \frac{\partial v}{\partial z} = \mbox{ \fbox{C}}$$

$$\frac{\partial w}{\partial t} + \mbox{ \fbox{D}} + \mbox{ \... ...rtial z} = - \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial z} - g$$

速度ポテンシャル $\phi$ は、速度 ($u$, $v$, $w$) が を 持たない時に定義され、$\phi$ を使って ($u$, $v$, $w$) は、

$$u = \frac{\partial \phi}{\partial x}, \,\,\,\, v = \mbox{\fbox{G}}, \,\,\,\, w = \frac{\partial \phi}{\partial z}$$

と表される。

渦度 $\omega$ は $\mbox{rot}\mathbf{u}$ と定義される。 $\omega$ の $z$ 成分 $\omega_{z}$ は、$u$, $v$ を使って と 表される。

渦無しの流れの場合には、ベルヌーイの定理は時間変化を 含む形に拡張され、速度ポテンシャル $\phi$ を使って、

$$\frac{\partial \phi}{\partial t} + \frac{1}{2}\vert\mbox{grad... ...^2 + \mbox{\fbox{I}} % + \frac{p}{\rho} + gz = \mbox{一定}$$

となる。

流線関数 $\psi$ は、２次元流に対して

$$u = \frac{\partial \psi}{\partial y}, \,\,\,\, v = -\frac{\partial \psi}{\partial x}$$

と定義され、$\psi =$ を満たす ($x$, $y$) からなる線は流線となる。

複素速度ポテンシャル$W$は非圧縮非粘性流体の２次元非回転流に対して

$$W = \mbox{\fbox{K}} + i \mbox{\fbox{L}}$$

と定義され、コーシー・リーマンの関係式を満たし複素微分可能な複素関数である。

問題２ 以下の問で与えられる速度ポテンシャル、あるいは流線関数、 複素速度ポテンシャルの表す流れの場 (２次元とする) の点($x$, $y$) に おける流速 ($u$, $v$) の値を求め、簡単に流れの様子を図示せよ。

1. $\phi = 2 s$, ただし $s = \sqrt{(x-1)^2+(y+2)^2}$
2. $\psi = x$
3. $W = z^3$, ここで $z = x + iy$
4. $W = 2 \left( z + \frac{1}{z} \right)$