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水理学I 小テスト (2002.11.12)

問題１   以下の \fbox {A} $\sim$ \fbox {L} を適切に埋める言葉あるいは式を答えよ。

空間座標を、($x$,$y$,$z$) の直交座標で取り、それぞれの方向の速度を ($u$, $v$, $w$) とした場合に、 非圧縮性流体の連続式は

\begin{displaymath} \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z} = 0 \end{displaymath}

と表される。また、$z$ 座標を鉛直方向とした時に、一定の重力加速度 $g$ の もとでの運動方程式は、粘性を無視すると

\begin{displaymath} \frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial... ...{\partial z} = - \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x} \end{displaymath}


\begin{displaymath} \frac{\partial v}{\partial t} + u \frac{\partial v}{\partia... ...{\partial z} = - \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial y} \end{displaymath}


\begin{displaymath} \frac{\partial w}{\partial t} + u \frac{\partial w}{\partia... ...rtial z} = - \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial z} - g \end{displaymath}

速度ポテンシャル $\phi$ は、速度 ($u$, $v$, $w$) が 渦度 を 持たない時に定義され、$\phi$ を使って ($u$, $v$, $w$) は、

\begin{displaymath} u = \frac{\partial \phi}{\partial x}, \,\,\,\, v = \frac{\... ...i}{\partial y }, \,\,\,\, w = \frac{\partial \phi}{\partial z} \end{displaymath}

と表される。

渦度 $\omega$ は $\mbox{rot}\mathbf{u}$ と定義される。 $\omega$ の $z$ 成分 $\omega_{z}$ は、$u$, $v$ を使って $\frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial x}$ と 表される。

渦無しの流れの場合には、ベルヌーイの定理は時間変化を 含む形に拡張され、速度ポテンシャル $\phi$ を使って、

\begin{displaymath}\frac{\partial \phi}{\partial t} + \frac{1}{2}\vert\mbox{grad}\phi\vert^2 + \frac{p}{\rho} + gz = \mbox{一定} \end{displaymath}

となる。

流線関数 $\psi$ は、２次元流に対して

\begin{displaymath} u = \frac{\partial \psi}{\partial y}, \,\,\,\, v = -\frac{\partial \psi}{\partial x} \end{displaymath}

と定義され、 $\psi = \mbox{一定値} $を満たす ($x$, $y$) からなる線は流線となる。

複素速度ポテンシャル$W$は非圧縮非粘性流体の２次元非回転流に対して

\begin{displaymath} W = \phi + i \psi \end{displaymath}

と定義され、コーシー・リーマンの関係式を満たし複素微分可能な複素関数である。


問題２ 以下の問で与えられる速度ポテンシャル、あるいは流線関数、 複素速度ポテンシャルの表す流れの場 (２次元とする) の点($x$, $y$) に おける流速 ($u$, $v$) の値を求め、簡単に流れの様子を図示せよ。

  1. $ \phi = 2 s$, ただし $ s = \sqrt{(x-1)^2+(y+2)^2} $
    \fbox{\begin{minipage}{10cm} 上問の式に入れて計算するだけなので省略。 流れ場は、(1,-2) から放射状に出て行く形になる \end{minipage}}

  2. $ \psi = x$
    \fbox{\begin{minipage}{10cm} 上問の式に入れて計算するだけなので省略。 流れ場は、一様になる \end{minipage}}
  3. $ W = z^3 $, ここで $z = x + iy$
    \fbox{\begin{minipage}{10cm} 上問の式に入れて計算するだけなので省略。 流れ場は... ...埜鮑気垢訥樟�囲まれたそれぞれの範囲で、角を回る流れとなる。 \end{minipage}}
  4. $ W = 2 \left( z + \frac{1}{z} \right)$
    \fbox{\begin{minipage}{10cm} 上問の式に入れて計算するだけなので省略。 流れ場は、円柱を過ぎる流れ \end{minipage}}



I. Tamagawa 平成15年3月6日